Общий вид алгебраического многочлена
(5.4)
Общий вид алгебраического многочлена
(5.4)
Можно показать, что задача интерполяции посредством алгебраических многочленов имеет решение, причем единственное, оценка погрешности интерполяции:
, где 
. (5.5)
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Многочлен Лагранжа имеет вид: 
где
(5.6.)
Очевидно, что 
а 
,(5.7)
Линейная интерполяция
В общем случае для приближенного вычисления значения функции f в точке xТi-узел из общей таблицы, строят интерполяционный линейный многочлен вида: находят в таблице ближайший к этой точке
(5.8)
и за значение f(x) принимают 
(линейная интерполяция)
Можно показать, что погрешность линейной интерполяции оценивается как: 
где h – расстояние между соседними точками.
Интерполяционный многочлен Ньютона
Пусть 
− набор узлов интерполирования, 
− значения функции 
в узлах.
Величину 
называют конечной разностью первого порядка в к-ом узле.
Аналогично определяются конечные разности высших порядков.
.
Разделенной разностью первого порядка называется выражение
,
.
Разделенной разностью второго порядка называется выражение
и т. д.
Используя представление функции f(x) в текущей точке x через разделенные разности можно показать, что
. (5.9)
Очевидно, при 
т. е. 
− интерполяционный многочлен. Его называют интерполяционным многочленом Ньютона.
Варианты заданий
1. Во всех вариантах требуется аппроксимировать заданную исходную функцию f(x) многочленом на интервале [a, b]. Задано: вид аппроксимации и m - количество точек, в которых задана функция. Таблица исходной функции yi=f(xi) вычисляется в точках 
Используя полученную таблицу 
требуется вычислить значения функций 
и погрешность 
в точках 
Таблица 5.1
|
N |
Функция f(x) |
A |
B |
m |
Вид аппроксимации |
|
1 |
|
-2 |
3 |
4 |
Лагранжа |
|
2 |
|
0 |
3 |
5 |
Ньютона |
|
3 |
|
1 |
8 |
5 |
Лагранжа |
|
4 |
|
4 |
7 |
4 |
Ньютона |
|
5 |
|
5 |
8 |
4 |
Лагранжа |
|
6 |
|
3 |
6 |
4 |
Ньютона |
|
7 |
|
1 |
4 |
6 |
Ньютона |
|
8 |
|
0 |
4 |
6 |
Лагранжа |
|
9 |
|
-8 |
2 |
5 |
Ньютона |
|
10 |
|
-2 |
5 |
5 |
Лагранжа |
|
11 |
|
-5 |
3 |
5 |
Ньютона |
|
12 |
|
-1 |
4 |
5 |
Лагранжа |
|
13 |
|
1 |
7 |
4 |
Ньютона |
|
14 |
|
-2 |
5 |
4 |
Лагранжа |
|
15 |
|
-4 |
2 |
4 |
Ньютона |
2. Для всех вариантов проведите линейную интерполяцию между двумя соседними узлами для десяти дополнительных промежуточных точек.
3. Постройте графики и проанализируйте качество полученной аппроксимации.
Контрольные вопросы
1. Как ставится задача линейной аппроксимации функций?
2. Что такое интерполяция, ее геометрическая интерпретация?
3. Напишите интерполяционный многочлен Ньютона 2-го порядка.
4. Напишите интерполяционный многочлен Лагранжа 2-го порядка.
5. Как получить формулу линейной интерполяции?