1. Формула прямоугольников.
Аппроксимируем площадь под графиком функции f(x) суммой прямоугольников с основанием h и высотой f(ξ), где 
.
1.a формула левых прямоугольников
1. Формула прямоугольников.
Аппроксимируем площадь под графиком функции f(x) суммой прямоугольников с основанием h и высотой f(ξ), где .
1.a формула левых прямоугольников
(6.2)
где: 
, 
1.б формула правых прямоугольников
(6.3)
где:.
, 
1.в формула средних прямоугольников
=Σcp, где: 
. (6.4)
т.е. здесь берем средние точки элементарных участков: 
,
Оценка погрешности методов левых и правых прямоугольников: 
, где 
(6.5)
т.е. точность метода − 
.
средних прямоугольников:
, где 
(6.6)
т.е. точность метода − 
.
2. Формула трапеций.
. Поступаем аналогично предыдущему способу, только аппроксимировать будем трапециями. Площадь элементарной криволинейной трапеции 
, а интеграл
. (6.7)
При этом погрешность составляет 
(6.8)
т.е. точность метода − 
.
3. Формула Симпсона или формула парабол.
Теперь аппроксимируем функцию на элементарном отрезке параболой. По сравнению с предыдущими способами вдвое уменьшим расстояние между узлами: 
, тогда искомый интеграл будет равен 
и в итоге имеем:
.(6.9)
Данная формула и называется формулой Симпсона. Можно показать, что погрешность формулы Симпсона: 
(6.10)
т.е. точность метода − 
.
4. Схема с автоматическим выбором шага по заданной точности
Анализ приведенных формул показывает, что точное значение интеграла находится между значениями 
и
, при этом имеет место соотношение
(6.11)
Это соотношение часто используется для контроля погрешности вычислений. Расчет начинается с n=2 и производится по двум методам, в результате получают 
. Если 
- заданная погрешность), то шаг h(m=m⋅2) и расчет повторяют. Если точность достигается, то окончательное значение интеграла получается по формуле . При существенном уменьшении шага h начинают сказываться ошибки округления, поэтому шаг должен быть ограничен снизу некоторой величиной, зависящей от разрядной сетки ЭВМ (m≤n). уменьшают вдвое
Варианты заданий
Создать и отладить программу расчета интеграла с заданной точностью.
При использовании алгоритма вычисления интеграла с автоматическим выбором шага по данной точности расчет произвести для δ=0.1, 0.01, 0,001 и получить зависимость m(δ).
Вычислите интеграл по формуле Симпсона и сравните полученный результат со значением интеграла, полученного методом с автоматическим выбором шага интегрирования.
Таблица 6.1
|
N |
Функция f(x) |
Интервал |
Значение | |
|
a |
b |
| ||
|
1 |
|
-2 |
3 |
5.983 |
|
2 |
|
0 |
3 |
-6.699 |
|
3 |
|
1 |
8 |
8.896 |
|
4 |
|
4 |
7 |
6.118 |
|
5 |
|
5 |
8 |
6.067 |
|
6 |
|
3 |
6 |
-3.367 |
|
7 |
|
1 |
4 |
0.100 |
|
8 |
|
0 |
4 |
0.153 |
|
9 |
|
-8 |
2 |
713.3 |
|
10 |
|
-2 |
5 |
-69.42 |
|
11 |
|
-5 |
3 |
167.6 |
|
12 |
|
-1 |
4 |
22.09 |
|
13 |
|
1 |
7 |
3.533 |
|
14 |
|
-2 |
5 |
154.73 |
|
15 |
|
-4 |
2 |
20.375 |
Контрольные вопросы