Множества обсуждаются в гл. 1 п иопользуются далее во всей книге, Главы 2, 3 и 5—7 образуют основу строгого обсуждения многих разделов компьютерной математики; материал этих глав выбран таким образом, чтобы его можно было широко использовать. В гл. 4 описывается математическая модель арифметической системы, используемой в цифровых компьютерах при работе с целыми числами. Главы 8—10 связывают математическую теорию из предыдущих глав с разделами компьютерной математики. В частности, здесь выделены такие области, как теория языков, теория автоматов и компьютерная геометрия. Эти темы отражают одновременно и интересы авторов, и их желание изложить важные разделы современной математики, представляющие общий интерес, а не только прикладной. Другие области, где может применяться излагаемый в книге материал, включают в себя базы данных, сети, программную проверку и численный анализ. Главы 8—10 являются исходными для дальнейшего изучения таких тем, как компиляция, системы моделирования, теория вычислений, компьютерная графика, вычислительная геометрия и автоматическое проектирование. Логические внутренние связи между главами и другими изучаемыми областями показаны на следующей диаграмме:
Терминология и обозначения обычно строго вводятся в соответствующем месте текста. Однако иногда в примерах мы используем термины, которые раньше не определялись. В таких случаях обычно следует руководствоваться интуицией, а не формальными соображениями. Так, в одном из случаев в гл. 1 используется термин “конечная машина”, в то время как определение дано лишь в гл. 9. В § 5 гл. 3 некоторые свойства действительных чисел используются без доказательства. Например, мы используем неравенство треугольника |х + у|<= <= |x| + |у|, где | • | обозначает абсолютную величину числа, в некоторых доказательствах, относящихся к пределам. При желании читатель может опустить эти доказательства до прочтения из п. 3.4 гл. 5. Повсюду в книге символ // будет означать конец определения, примера, доказательства и т. п., а символ #—обнаружение логической ошибки, т. е. противоречие. Также по причинам, которые станут ясными в § 5 гл. 1, мы обычно будем использовать для обозначения операции умножения символ • (а не X), хотя, когда мы будем иметь дело с обычными числами, символ * иногда будет опускаться с целью упрощения записи в больших выражениях,