Пример 5.1. Пусть задано произвольное множество А. Тогда отношение s на У (А) есть тривиальное отношение порядка. {X s X для всех X; если Х s Y и Y s X, то Х - У; Х s Y и Y s Z => Х s Z.) II
Отношение порядка р на А называется полным, если. для любых х, у <= А или хру, или урх (или же выполняются оба).
Пример 5.1. Пусть задано произвольное множество А. Тогда отношение s на У (А) есть тривиальное отношение порядка. {X s X для всех X; если Х s Y и Y s X, то Х - У; Х s Y и Y s Z => Х s Z.) II
Отношение порядка р на А называется полным, если. для любых х, у <= А или хру, или урх (или же выполняются оба).
Пример 5.2. Очевидно, что порядок на подмножествах данного множества не является полным. Естественный порядок чисел на действительно!"! оси R является полным.
По мере достижения прогресса в изучении математики становится ясным, что математика не набор разрозненных идей, а совокупность связанных между собой концептуальных понятий, которые используются во многих непохожих друг па друга ситуациях. Отсюда следует, что, если основной принцип установлен и исследован, он фактически единым образом решает проблемы для всех этих различных случаев. Следующий пример является простой иллюстрацией этой идеи.
Пример 5.3. На основе порядка, определенного на N, мы можем формально получить обычные отношения порядка на множествах чисел Z, Q и R. (Как уже упоминалось, исследование N будет проведено в § 3 гл. 3.)
Вначале рассмотрим Z. Чтобы облегчить рассуждения, разобьем Z следующим образом:
Z=NU{0}U4.
Поэтому А = {—х: х е N}. Определим отношение (которое будем называть полным отношением порядка) на Z рассмотрением всевозможных элементов а; и у из разбиения {N U (0) U 4}.
Если х °” у, то х < у и у sS х. Пусть х •^ у. Тогда:
а) если х, у е N, то порядок в Z тот же самый, что и в N;
б) если х, Vе А, то
х < у тогда и только тогда, когда —у ^ —х в N
(т. е. —5 ^ —4, так как 4^5);
в) если х °= 0 и у е N, то х =s5 у;
г) если х <= А и у °= 0, то х ^ у;
д) если ж е Л и у е N, то х s$ у или в противном
случае у <= х.
На основе порядка на Z и обычпых арифметических операций с целыми числами мы можем определить порц-док на Q:
alb ^ с/а тогда и только тогда, когда а * d ^ Ь • с.
Проверку этого утверждения оставляем в качестве упражнения. Наконец, определим отношение порядка на множестве действительных чисел 11. Рассмотрим десятичные представления днух действительных положительных чисел:
D==...0d„...d^idu6i62...,
С=...Ос„,...С2С)Со^1^2....
Если di = с< и 6i == ^ для всех <, то D == С и, следова - Дяя удобства будем использовать следующие обозна-
тельно, DsS.CuC'S.D.B противном случае: чения:
а) если d„ Ґ - 0, Cm ^ 0 и п Ґ - т, то D 'S. С, если п < т, }—°°, а] == [х: х •^ а},
и С <S Z), если т < п; }~°°, а[= {х: х <а},
б) если п=т и d, т^ с„ но d, = Cj для всех / таких, , , , _ >
что i < 7 sЈ га, то из di < Ci следует, что D-e^C, и, обрат - i01 °°1 °° а ^ х '
но, если с, < d„ то С ^ D; ]а, °о[ ={.(;: а < а;},
в) если m = п и d< == с< для всех i, но б,, ^ "f„ для не - i_oo ооГ=К
которых k и 6, ='yj для всех ) таких, что 0<j<k, тот - ' -
да С ^ D, если 'y^Si,, и D < С, если б” < 1\^. Хотя интервалы и множества чисел в общем-то не яв-
Чйтатель может проверить это самостоятельно. Отри - ляются центральной частью нашего рассмотрения, мы
дательные числа могут быть исследованы так же, как увидим, что их удобно использовать время от времени.
в Z. II У пражнение 2.5.
Множество Х вместе с отношением порядка ^ назы - 1. Пусть А — произвольное множество и р — отноше-
вается частично упорядоченным множеством (обознача - ние на множестве У{А)ХУ{А), определенное следую-ется (X, <S)). Тогда любой элемент ме(Х, ^) такой, что : щим образом:
х^и и у <S и, называется верхней границей х л у. Ана - (р^ Q)p{X, Y) тогда и только тогда, когда
логично, если 1е(Х, <), 1<а: и 1<у, то 1 является (РДО)^(ХДУ).
нижней границей х и у. Множество всех верхних границ Является ли р отношением порядка?
х и у является подмножеством Х и упорядочено отноше - , 2. Пусть А — произвольное множество и а — отно-
нием <. Если существует единственный наименьший j шение на У{А)ХУ(А), определенное следующим об-
элемент этого множества, т. е. если существует ц е ; разом:
е=(Х, sЈ) такое, что х aЈ ц, у <S ц и ц^и для любой "i _ -' .„ -..
верхней границы и, то у. называют верхней гранью (Р, ^) о (Д:, У) тогда и только тогда, когда
(sup) х •а у. Аналогично, если существует единственная Р s X и Q s 7.
наибольшая нижняя граница а; и у, ее называют нижней
гранью (inf) х и у. Мы отложим изучение верхней и Является ли о отношением порядка? Если да, то явля-
нижней граней до § 5 гл. 5, где будут изучаться ется ли этот порядок полным?
решетки. 3. Пусть тип— отношения на N2, определяемые
Наконец, заметим, что использование естественного соотношениями:
порядка на R определяет новые множества. Их называ - (а, Ь} т (с, d) тогда и только тогда, когда а<с иb<.d;
ют интервалами: ^ ^^ ^ ^^ д только тогда, когда а^с и b>d.
[а, Ь] == {х: х е R, а ^ х s5 b}
Являются ли т и л отношениями порядка? есть замкнутый интервал [отрезок) от а до b; 4. Пусть л определено на положительных элементах
]д, Ь[ = {х: х е R, а < х < b} ' Q следующим образом:
, •п (а/Ь)л.(с, d} тогда и только тогда, когда a*d!'Јsb^^c.
есть открытый интервал от а до Ь. В каждом случае • ' \ ' /
числа а и 6 называются концевыми точками. Показать, что л является полным отношением порядка.
Замкнутый интервал включает в себя концевые точки, а открытый нет.