Гомоморфизм j : Â 1 ® Â 2 назовем сильным, если выполняется
(г) если Â 2 ╞ R n ( j (b1),…, (j (bn)), то существуют b1’,…, bn’ Î M 1 такие, что j (b1)= j (b1’) ,…, j (bn) = j (bn’) и Â 1 ╞ R n (b1’ ,…, bn’).
Взаимно однозначное соответствие j между М1 и М2 назовем изоморфизмом между Â 1 и Â 2, если j и j-1 ¾ гомоморфизмы. Если Â 1 изоморфна Â 2, то пишем Â 1 ~ Â 2.
Гомоморфизм j : Â 1 ® Â 2 назовем сильным, если выполняется
(г) если Â 2 ╞ R n ( j (b1),…, (j (bn)), то существуют b1’,…, bn’ Î M 1 такие, что j (b1)= j (b1’) ,…, j (bn) = j (bn’) и Â 1 ╞ R n (b1’ ,…, bn’).
Взаимно однозначное соответствие j между М1 и М2 назовем изоморфизмом между Â 1 и Â 2, если j и j-1 ¾ гомоморфизмы. Если Â 1 изоморфна Â 2, то пишем Â 1 ~ Â 2.
Пусть {Â i}iÎ I ¾ семейство алгебраических систем сигнатуры s , Mi ¾ основные множества Â i.
Прямым произведением систем Â i (i Î I ) назовем алгебраическую систему 
, где:
(а) для каждого предикатного символа Pn Î s
╞ Pn(f1,…,fn) Û Â i╞ Pn( f1(i),…, fn(i) )
для каждого i Î I ,
(б) для каждого функционального символа Fn Î s
Fn( f1,…, fn) (i) = Fn ( f1(i), …, fn(i)),
(в) для каждой предметной константы а Î s а(i)=a.
Пусть D – фильтр над I. Определим на 
отношение f~D g Û { i | f(i) = g(i)} Î D, и пусть f | D = {g | f~Dg}, 
= { f / D|f Î }. Полагаем для n-местного предикатного символа Pn из s
Pn(f1/D,…, fn/D) = u Û {i|Â i╞ Pn (f1(i),…,fn(i))} Î D,
для n-местного функционального символа Fn из s
Fn(f1/D,…, fn/D) = Fn(f1,…,fn)/D
и для предметной константы а из s
a = a / D.
Система Â =
/ D = á 
/D; s ñ с так определенными предикатами и функциями называется фильтрованным (или приведенным) произведением Â i по фильтру D.
Если D –ультрафильтр, то / D называется ультрапроизведением: если все Â i совпадают и равны Â , то / D называется ультрастепенью Â и обозначается Â I/D.