Вхождение переменной х в формулу называется связанным, если оно находится в области действия квантора " х или $ х, и свободным в противном случае. Переменная х называется свободной переменной формулы Á , если в Á имеется свободное вхождение х , и связанной переменной формулы Á , если в Á имеется связанное вхождение х. Терм t называется свободным для переменной х в формуле Á , если никакое свободное вхождение х в Á не находится в области действия никакого квантора " у$ у, где у—переменная, входящая в t. Формула Á называется замкнутой формулой, или предложением , если всякое вхождение переменной в Á является связанным. или
Подслово формулы Á , которое само является формулой, называется подформулой формулы Á .
Атомной формулой сигнатуры s назовем произвольное слово Pn(t1, …, tn), где Pn— п-местный предикатный символ из s а t1, …, tn – термы сигнатуры s . Дадим определение формулы сигнатуры s :Вхождение переменной х в формулу называется связанным, если оно находится в области действия квантора " х или $ х, и свободным в противном случае. Переменная х называется свободной переменной формулы Á , если в Á имеется свободное вхождение х , и связанной переменной формулы Á , если в Á имеется связанное вхождение х. Терм t называется свободным для переменной х в формуле Á , если никакое свободное вхождение х в Á не находится в области действия никакого квантора " у$ у, где у—переменная, входящая в t. Формула Á называется замкнутой формулой, или предложением , если всякое вхождение переменной в Á является связанным. или
Подслово формулы Á , которое само является формулой, называется подформулой формулы Á .
В дальнейшем используем символы x, y, z, x1, x2,… для обозначения предметных переменных, t1, t2,… для обозначения термов, Á , В - для обозначения формул. В случаях, когда речь идет о формуле Á и переменных х1,…, хп, используется также запись Á ( х1,…, хп). Если Á ( х1,…, хп) – формула, то через Á ( t1,…, tп) обозначаем результат подстановки термов t1,…, tп в Á вместо всех свободных вхождений переменных х1,…, хп.
Пусть М—непустое множество и Rn—некоторое п-местное отношение на М. п-местным предикатом на М, соответствующем отношению Rn, называется п-местная функция Рn из М в {и, л}такая, что для любых a1,… , anÎ M
Pn (a1,… , an) = u Û á a1,… , an ñ Î Rn.
Алгебраической системой Â = á М; s ñ сигнатуры s называется непустое множество М, где каждому п-местному предикатному (функциональному) символу из s сопоставлен п-местный предикат (функция) на М, а каждой предметной константе из s сопоставлен некоторый элемент из М. Предикаты (функции, элементы), сопоставленные символам из s , обозначаем теми же символами.
Алгебраическую систему Â = á М; s ñ называем моделью, если s не содержит функциональных символов.
Мощностью системы Â = á М; s ñ называется мощность 
множества М и обозначается через 
.
Пусть s 1 Í s 2. Â 1= á М; s 1ñ называется объединением Â 2= á М; s 2ñ , а Â 2 – обогащением Â 1 , если символы из s 1 интерпретируются одинаково в Â 1 и Â 2.
Пусть М1 Í М2. Система (модель) Â 1= á М1; s ñ называется подсистемой (подмоделью) Â 2= á М2; s ñ , а М2—расширением М1, если все символы из s интерпретируются одинаково в Â 1 и Â 2 на элементах из М1. Если М1¹ М2 , то подсистема (расширение, подмодель) называется собственной.
Пусть t – терм сигнатуры s , все переменные которого содержаться среди x1,…, xn , Â = á М; s ñ -- алгебраическая система. Значение терма t при значениях переменных m1,… ,mn Î M определяется по индукции:
Формула Á (x1,…, xn) сигнатуры s , все свободные переменные которой суть x1,…, xn , называется истинной в Â = á М; s ñ при значениях переменных m1,… ,mn Î M соответственно, если предложение Á( m1,… ,mn) истинно в Â . В противном случае Á считается ложной в Â = á М; s ñ .